Mit dem Antrag auf Arbeitslosengeld II wird die zuständige Krankenkasse angegeben. Das Jobcenter ist verpflichtet der Krankenkasse den Leistungsbezug zu melden. Damit entsteht die Versicherung und die Beitragszahlung über das Jobcenter.
Um sicher zu gehen, bitte den Bewilligungsbescheid (i.d.R. auf der zweiten Seite) lesen. Da steht die Anmeldung zur Krankenversicherung drauf. Sollte "familienversichert" oder eine falsche Krankenkasse drauf stehen, dann bitte unbedingt sofort noch einmal beim Jobcenter melden.
Richtig sillte es zur Krankenversicherung lauten "Name, Vorname pflichtversichert Barmer Ersatzkasse vom 01.10.2009 bis ..."
Selbst muss man sich grundsätzlich nicht bei seiner Krankenkasse. Das ist Aufgabe des Jobcenters.